Ilmu Budaya Dasar: Softskil Himpunan Dan Bilangan BAB 10

Definisi Himpunan dan Bilangan

himpunan itu segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun bisa dibilang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.nah dalam pengoperasikan / cara tau himpunan itu ntuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.

nah kalo untuk bilangan itu bisa d bilang suatu konsep dari MTK yang digunakan untk pengukuran / pencacahan simbol atau pun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan itu namanya angka/lambang bilangan, nah kalo dalam pelajaran MTK konsep bilangan selama bertahun tahun lamanya telah di perluas untuk meliputi bilangan nol , bilangan negatif,bilangan rasional , bilangan irasional , dan bilangan kompleks atau juga ada operasi biner c ontoh operasi biner ada penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (…).

$B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}$

$A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}$

$\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}$

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

$O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}$

$E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \and (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}$

$P = \{ p\, |\, p \mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}$

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

$A = \{ x\, |\, x \notin A\}$

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

$\varnothing = \{ \, \}$

Pendefinisian Himpunan

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :

1.Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh:
– A = {a,e,i,o,u}
– B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:
– A = Himpunan vokal dalam abjad latin
– B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:
– P = {0,2,4,8,10,…,48}
– Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh:
– P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
– Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
– R = { s | s² -1=0, s bilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.
Contoh :

Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½,… maka semesta pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan. (Mengapa?).

Himpunan Bagian

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dariA. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

$B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A$

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka $\varnothing$ juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

$\varnothing \subseteq A$

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

$A \subseteq A$

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

$B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A$

Kelas

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan $A = \{ \{a,\,b\},\, \{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\}$ adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, $\mathcal{P}(A)$ adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut, $P = \{ \{a,\,b\}, c\}$ bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan $\{apel, jeruk, mangga, pisang\}$ adalah 4. Himpunan $\{p, q, r, s\}$ juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi $\{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\}$ yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan $\mathbb{N}$ , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas $\mathfrak{a}$ .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh $2n\,$ .

$A = \{ 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, ...\}$

Operasi Himpunan

Gabungan (Union)

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika dan hanya jika A ∪ B = B.

Irisan (Intersection)

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

A ∩ B = B ∩ A.

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen
Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di A. Jadi Ac = { x | xES, xE A }
Contoh:

Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac = {1,3,5,…}

Sifat-sifat operasi

Komutatif
Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku AuB = BuA dan juga AnB = BnA

Asosiatif
Diberikan himpunan A, B dan C.
Maka berlaku (AuB)uC = Au(BuC) dan juga (AnB)nC= An(BnC).

Idempoten
Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku A u A=A dan juga A n A=A

Identitas
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A u S=A dan juga A n S=A

DistributifDiberikan himpunan A,B dan C.
Maka A u (B n C) = (A u B) n (A u C) dan juga A n (B u C)=(A n B) u (A n C)

Komplementer
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A u Ac = S dan A n Ac =O

Dalil De Morgan
Diberikan himpunan A dan B. Maka (A u B) c = Ac n Bc dan (A n B) c = Ac u Bc

SKEMA HIMPUNAN BILANGAN

Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.N = {1,2,3,4,5,6,……}
Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.P = {2,3,5,7,11,13,….}
Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.C = {0,1,2,3,4,5,6,….}
Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.B = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
Himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.contoh: log 2, e, Ö7
Himpunan bilangan riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
Himpunan bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1contoh: i, 4i, 5i
Himpunan bilangan kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.contoh: 2-3i, 8+2

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)

https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan

baak.gunadarma.ac.id
studentsite.gunadarma.ac.id
http://sap.gunadarma.ac.id/

Ilmu Budaya Dasar

Rabu, 01 Juni 2016

Softskil Himpunan Dan Bilangan BAB 10

Tidak ada komentar:

Posting Komentar