Sofskil PROPOSISI DAN LOGIKA I BAB 14 Dan BAB 15

PROPOSISI

Proposisi itu bahasa  yang digunakan untuk kalimat pernyataan yang memiliki arti penuh dan utuh.  Hal ini berarti suatu kalimat harus dapat dipercaya, disangsikan, disangkal, atau dibuktikan benar tidaknya.  Singkatnya, proposisi adalah pernyataan mengenai hal-hal yang dapat dinilai benar atau salah.  dia lebih ke pelajaran bahasa indonesia 

Dalam ilmu logika, proposisi mempunyai tiga unsur : 

1. Subyek, perkara yang disebutkan adalah terdiri dari orang, benda, tempat, atau perkara. 
2. Predikat adalah perkara yang dinyatakan dalam subjek. 
3. Kopula adalah kata yang menghubungkan subjek dan predikat. 

Contohnya kalimat Semua manusia adalah fana.  Kata semua dalam kalimat tersebut dinamakan dengan pembilang.  Kemudian kata manusia berkedudukan sebagai subyek, sedang adalah merupakan kopula. Adapun predikat di sini diwakili oleh kata fana.

Logika : logika itu yaa berpikir, lebih ke pada  penalaran/proses penalaran dan objek formal logika adalah berpikir/penalaran yang ditinjau dari segi ketepatannya atau orang sering bilang " pake logika mu " itu bisa dibilang proses berpikir yang banyak menggunakan imajinasi atau membayangkan bayangkan akan jadi apa dan dll . contoh-contohnya seperti biasa ada dibawah yaaa .. 

KONSEP DAN NOTASI DASAR

   Di dalam penggunaan nya bahasa matematika khususnya pada logika sistematis, yang dimaksud proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang selalu mempunyai nilai kebenaran, mungkin pernyataan itu bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak keduanya.

Notasi pernyataan ditulis dengan huruf kecil p ,q, r, s, t, ¼, dan seterusnya, sedangkan nilai kebenarannya diberi simbol 1 untuk pernyataan yang bernilai benar dan 0 untuk pernyataan yang bernilai salah.

Tautologi, Kontradiksi dan Ekivalen Logika

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah

B  Tini pergi kuliah

C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B                                    (Premis)

(2)   C → B                         (premis)

   (3) (A V C) → B              (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A

~A

(A ʌ ~A)

B

S

S

B

S

S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Aljabar Proposisi

Jika p, q, dan r merupakan proposisi-proposisi maka berlaku:

 1. Hukum idempoten .           a.             pÚ pºp ;             b.      pÙpºp

2. Hukum asosiatif . a. (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)                 b. p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)

3. Hukum komutatif. a. p Ú q º q Ú p ;                b. p Ù q º q Ù p

4. Hukum distributif a.             p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r)

b.        p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r)

5. Hukum Identitas . a. p Ú Salah º p ;                 b. p Ù Benar º p

6. Hukum Identitas. a. p Ú Benar º Benar ;          b. p Ù Salah º Salah

7. Hukum Komplemen. a. p Ú p º Benar ;            b. p Ù p º Salah

8. Hukum Komplemen . a. p º p ;                        b. Salah º Benar ; Benar = Salah

9. Hukum De Morgan. a. p Ú q º p Ù ;                 b. p Ù q º p Ú q

  IMPLIKASI

“Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton. Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan  p  CodeCogsEqn (7) q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah

Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh 1
Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
a) 13 adalah bilangan ganjil.
b) 1 + 1 = 2.
c) Ada monyet di bulan.
d) Hari ini adalah hari Rabu.
e) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

Contoh 2
Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi
(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
(b) Isilah gelas tersebut dengan air!
(c) x + 3 = 8

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….

Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Konjungsi (conjunction): p dan q
Notasi p ^ q,
2. Disjungsi (disjunction): p atau q
Notasi: p v q
3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p
Notasi: ~p

Contoh 3
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p ^ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari
sekolah
p v q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan
dari sekolah
~p : Tidak benar hari ini hujan
(atau: Hari ini tidak hujan)

Contoh 4
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik:
(a) Pemuda itu tinggi dan tampan
(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak
tampan
(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun
tampan

Tabel Kebenaran

Tautologi dan Kontradiksi

 Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar
untuk semua kasus
 Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah
untuk semua kasus.

Ekivalensi Logika

 Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik.
Notasi: P(p, q, …) <=> Q(p, q, …)

SUMBER : https://id.wikipedia.org/wiki/Proposisi
https://id.wikipedia.org/wiki/Logika
https://id.wikipedia.org/wiki/Gerbang_logika

studentsite.gunadarma.ac.id
http://sap.gunadarma.ac.id/

Softskil Relasi BAB 12

 RELASI

          Relasi biner itu dalam  matematika, singkatnya relasi, yaitu  hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis. contohnya ada dibawah yaaa contoh-contoh dari relasi . dia masih dalam ilmu seperti matematika cuma beda di sub bab aja 

Himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan a A dan b B disebut himpunan perkalian A dan B atau produk kartesius A dan B ditulis dengan notasi     A x B dan didefinisikan sbb ; A x B = {(a,b) : a A, b B}

Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Contoh

Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka          A x B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)}    dan B x A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

RELASI MATRIKS

Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, . . .,am} dan B = {b1, b2, . . .,bn}, relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]

Yang dalam hal ini

Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan bernilai 0 jika ai tidak dihubungkan dengan bj.

Relasi R pada table 1 dapat dinyatakan dengan matriks :

yang dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = INF0221

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah

RELASI INVERS

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ; R-1 = {(b,a) : (a,b) R}

Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Contoh Relasi Invers

Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} merupakan suatu relasi dari A ke B. Tentukan relasi invers dari R ! Relasi invers dari R adalah ; R-1 = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2)}

KOMPOSISI RELASI

Komposisi relasi seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti  kombinasi hanya beda macam operasinya.

Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S dinotasikan dengan  R0S adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

          R0S = {(a,c)|aЄA, c Є C, dan untuk beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}

Contoh

Misalkan R = {( 1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari A={1,2,3} dan B={2,4,6,8} ,dan

 S={( 2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari B ke C={s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S yaitu R0S

Jawab

R0S = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dalam matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari relasi tersebut adalah

                                                                                        MR1oR2= MR1 . MR2

operator “ 0 “ sama seperti pada perkalian matrik, tetapi mengganti tanda kali dg L, sedangkan jumlah dengan V

Dalam hal ini ingat operasi pada aljabar bool yaitu tanda atau(V)  seperti jumlah sedang kan tanda dan(L) seperti kali

1. Refleksif

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif,  jika (a,a)ЄR untuk setiap aЄA.

Contoh

Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}

a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}

b) Diketahui , R={(1,1),  (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.

Tentukan apakah R refleksif ?

Jawab

a) bersifat refleksif karena  (a,a) ada dalam R yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)

b) tidak refleksif karena ada (a,a) tidak ada dalam R yaitu (3,3).

Dilihat dari cara penulisan relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks  denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal utamanya ,  sedangkan graf berarah adanya gelang pada setiap simpulnya.

2. Simetris (setangkup)

Sebaliknya dikatakan tidak simetris.

Contoh

Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}

a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.

Tentukan apakah R simetris ?

Jawab

a) simetris karena jika (a,b)ЄR, ada juga  (b,a)ЄR yaitu (1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga (2,4) , (4,2)ЄR

b) tidak simetris karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak dalam R

Dilihat cara penulisan relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama, atau mij = mji umtuk i= 1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri : jika ada busur a ke b, maka ada juga busur dari b ke a

3. Transitif (penghantar)

Relasi R pada himpunan A disebut  transitif (penghantaf), untuk a, b, c Є A, jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada (a,c)ЄR.

Contoh

Misal A={1,2,3,4}, dan relasi R pada A

a) diketahui R= {(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3),  (2,4), (4,2)}.

Tentukan apakah R refleksif ?

Jawab

a) transitif karena memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka terlihat ada (a,c)ЄR.

b) tidak bersifat transitif karena tidak memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,tidak terlihat ada (a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4), dan(4,2) tetapi (2,2)ÏR

SUMBER : https://id.wikipedia.org/wiki/Relasi_biner
https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)


baak.gunadarma.ac.id
studentsite.gunadarma.ac.id
http://sap.gunadarma.ac.id/

Softskil Fungi BAB 13

FUNGSI
       Fungsi itu dalam  matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).  ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari,contohnya kita sering bilang  seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmukuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim. dalam bab ini sama seperti yang sudah-sudah ini masih dalam bagian dari pelajaran Matematika tapi beda di Sub babnya aja contoh-contohnya ada dibawah yaa 

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua

Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Sumber : https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)

https://id.wikipedia.org/wiki/Limit_fungsi
https://id.wikipedia.org/wiki/Domain_fungsi

baak.gunadarma.ac.id
studentsite.gunadarma.ac.id
http://sap.gunadarma.ac.id/

Softskil Himpunan Dan Bilangan BAB 10

 Definisi Himpunan dan Bilangan 

 himpunan itu  segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun bisa dibilang   sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.nah dalam pengoperasikan / cara tau himpunan itu ntuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.

nah kalo untuk bilangan itu bisa d bilang suatu konsep dari MTK yang digunakan untk pengukuran / pencacahan simbol atau pun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan itu namanya angka/lambang bilangan, nah kalo dalam pelajaran MTK konsep bilangan selama bertahun tahun lamanya telah di perluas untuk meliputi bilangan nol , bilangan negatif,bilangan rasional , bilangan irasional , dan bilangan kompleks atau juga ada operasi biner c ontoh operasi biner ada  penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

• Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (…).

• Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Pendefinisian Himpunan

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :

1.Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh:
– A = {a,e,i,o,u}
– B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:
– A = Himpunan vokal dalam abjad latin
– B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:
– P = {0,2,4,8,10,…,48}
– Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh:
– P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
– Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
– R = { s | s² -1=0, s bilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.
Contoh :

Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½,… maka semesta pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan. (Mengapa?).

Himpunan Bagian

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

• {apel, jeruk}
• {jeruk, pisang}
• {apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dariA. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka  juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Kelas

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan  adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut,  bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan  adalah 4. Himpunan  juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi  yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .

Operasi Himpunan

Gabungan (Union)

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• {Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

• A ∪ B = B ∪ A.
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
• A ⊆ (A ∪ B).
• A ∪ A = A.
• A ∪ ∅ = A.
• A ⊆ B jika dan hanya jika A ∪ B = B.

Irisan (Intersection)

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).

Contoh:

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• {Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
• {Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

• A ∩ B = B ∩ A.

• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
• A ∩ B ⊆ A.
• A ∩ A = A.
• A ∩ ∅ = ∅.
• A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen
Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di A. Jadi Ac = { x | xES, xE A }
Contoh:

Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac = {1,3,5,…}

Sifat-sifat operasi

Komutatif
Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku AuB = BuA dan juga AnB = BnA

Asosiatif
Diberikan himpunan A, B dan C.
Maka berlaku (AuB)uC = Au(BuC) dan juga (AnB)nC= An(BnC).

Idempoten
Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku A u A=A dan juga A n A=A

Identitas
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A u S=A dan juga A n S=A

DistributifDiberikan himpunan A,B dan C.
Maka A u (B n C) = (A u B) n (A u C) dan juga A n (B u C)=(A n B) u (A n C)

Komplementer
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A u Ac = S dan A n Ac =O

Dalil De Morgan
Diberikan himpunan A dan B. Maka (A u B) c = Ac n Bc dan (A n B) c = Ac u Bc

SKEMA HIMPUNAN BILANGAN

1. Himpunan bilangan asli
   Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.N = {1,2,3,4,5,6,……}
2. Himpunan bilangan prima
   Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.P = {2,3,5,7,11,13,….}
3. Himpunan bilangan cacah
   Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.C = {0,1,2,3,4,5,6,….}
4. Himpunan bilangan bulat
   Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.B = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
5. Himpunan bilangan rasional
   Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
   p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
6. Himpunan bilangan irasional
   Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.contoh: log 2, e, Ö7
7. Himpunan bilangan riil
   Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
8. Himpunan bilangan imajiner
   Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1contoh: i, 4i, 5i
9. Himpunan bilangan kompleks
   Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.contoh: 2-3i, 8+2
   
   
   http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)
   https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan
   baak.gunadarma.ac.id
   studentsite.gunadarma.ac.id
   http://sap.gunadarma.ac.id/