RELASI
Relasi biner itu dalam matematika, singkatnya relasi, yaitu hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis. contohnya ada dibawah yaaa contoh-contoh dari relasi . dia masih dalam ilmu seperti matematika cuma beda di sub bab aja
Himpunan semua
pasangan berurutan (a,b) dengan a A dan b B disebut himpunan perkalian A dan B
atau produk kartesius A dan B ditulis dengan notasi A x B dan didefinisikan sbb ; A x B = {(a,b)
: a A, b B}
Cece Kustiawan,
FPMIPA, UPI
Contoh
Jika A = {1, 2, 3} dan
B = {a, b}, maka A x B = {(1,a),
(2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)} dan
B x A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
RELASI MATRIKS
Misalkan R adalah
relasi dari A = {a1, a2, . . .,am} dan B = {b1, b2, . . .,bn}, relasi R dapat
disajikan dengan matriks M = [mij]
Yang dalam hal ini
Dengan kata lain,
elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan
bernilai 0 jika ai tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi R pada table 1
dapat dinyatakan dengan matriks :
yang dalam hal ini, a1
= Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = INF0221
Anggota-anggota
himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal
tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut
diagram panah
RELASI INVERS
Misalkan R adalah
relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R-1
adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila
dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ; R-1 =
{(b,a) : (a,b) R}
Cece Kustiawan,
FPMIPA, UPI
Contoh Relasi Invers
Misalkan A = {1, 2}
dan B = {a, b}, maka R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} merupakan suatu relasi
dari A ke B. Tentukan relasi invers dari R ! Relasi invers dari R adalah ; R-1
= {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2)}
KOMPOSISI RELASI
Komposisi relasi
seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti
kombinasi hanya beda macam operasinya.
Misal R adalah relasi
dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan
C. komposisi R dan S dinotasikan dengan
R0S adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
R0S = {(a,c)|aЄA, c Є C, dan untuk
beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}
Contoh
Misalkan R = {(
1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari A={1,2,3} dan
B={2,4,6,8} ,dan
S={( 2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah
relasi dari B ke C={s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S yaitu R0S
Jawab
R0S =
{(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}
Jika relasi R1 dan R2
masing-masing dinyatakan dalam matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang
menyatakan komposisi dari relasi tersebut adalah
MR1oR2= MR1 .
MR2
operator “ 0 “ sama
seperti pada perkalian matrik, tetapi mengganti tanda kali dg L, sedangkan
jumlah dengan V
Dalam hal ini ingat
operasi pada aljabar bool yaitu tanda atau(V)
seperti jumlah sedang kan tanda dan(L) seperti kali
1. Refleksif
Relasi R pada himpunan
A disebut refleksif, jika (a,a)ЄR untuk
setiap aЄA.
Contoh
Relasi R didefinisikan
pada himpunan A dimana A={1,2,3,4}
a) Diketahui , R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3), (4,2),
(4,3), (4,4)}
b) Diketahui ,
R={(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3),
(4,4)}.
Tentukan apakah R
refleksif ?
Jawab
a) bersifat refleksif
karena (a,a) ada dalam R yaitu (1,1),
(2,2), (3,3), dan (4,4)
b) tidak refleksif
karena ada (a,a) tidak ada dalam R yaitu (3,3).
Dilihat dari cara penulisan
relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal
utamanya , sedangkan graf berarah adanya
gelang pada setiap simpulnya.
2. Simetris
(setangkup)
Sebaliknya dikatakan
tidak simetris.
Contoh
Relasi R didefinisikan
pada himpunan A dimana A={1,2,3,4}
a) Diketahui , R={(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2),
(4,4)}
b) Diketahui ,
R={(1,1), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R
simetris ?
Jawab
a) simetris karena
jika (a,b)ЄR, ada juga (b,a)ЄR yaitu
(1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga (2,4) , (4,2)ЄR
b) tidak simetris
karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak dalam R
Dilihat cara penulisan
relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah
diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama,
atau mij = mji umtuk i= 1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri
: jika ada busur a ke b, maka ada juga busur dari b ke a
3. Transitif
(penghantar)
Relasi R pada himpunan
A disebut transitif (penghantaf), untuk
a, b, c Є A, jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada (a,c)ЄR.
Contoh
Misal A={1,2,3,4}, dan
relasi R pada A
a) diketahui R=
{(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}
b) Diketahui ,
R={(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)}.
Tentukan apakah R refleksif
?
Jawab
a) transitif karena
memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka terlihat ada
(a,c)ЄR.
b) tidak bersifat
transitif karena tidak memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan
(b,c)ЄR,tidak terlihat ada (a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4), dan(4,2) tetapi
(2,2)ÏR
SUMBER : https://id.wikipedia.org/wiki/Relasi_biner
https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)
baak.gunadarma.ac.id
studentsite.gunadarma.ac.id
http://sap.gunadarma.ac.id/
